PARCIAL 01: PreCálculo - Intervalos

¿Qué son los intervalos?

Un intervalo es un conjunto de números reales que se encuentra comprendido entre dos extremos, a y b. También puede llamarse subconjunto de la recta real.

Por ejemplo, los números que satisfagan una condición 1 ≤ x ≤ 5 ó [1;5] implican un intervalo que va desde el 1 hasta el 5, incluyendo a ambos.

Si se toma en cuenta la aplicación del intervalo para observar el comportamiento de una variable, se toma una serie de tiempo y se escoge un intervalo.

Clasificación de los intervalos

Existen 4 tipos de intervalos matemáticos, estos son: abierto, cerrado, semiabierto e infinito.

Intervalo abierto

Un intervalo abierto es aquel que no incluye los extremos entre los cuales está comprendido, pero sí todos los valores ubicados entre estos. Se representa mediante una expresión del tipo a < x < b ó (a;b).

Por ejemplo, si tenemos el intervalo abierto (1;5), tendremos el conjunto de números mayores a 1 y menores que 5. Sin incluir el 1 y el 5.

Representación en la recta real del intervalo abierto (a;b).

Intervalo cerrado

Un intervalo cerrado es aquel que incluye los extremos del intervalo y todos los valores comprendidos entre estos. Se representa con una expresión del tipo a ≤ x ≤ b ó [a;b].

Por ejemplo, si tenemos el intervalo cerrado [1;5], tendremos el conjunto de números mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 5. Incluyendo el 1 y el 5.

Representación en la recta real del intervalo cerrado [a;b].

Intervalo semiabierto

Un intervalo semiabierto es aquel que incluye tan solo uno de los extremos de los valores que están entre ellos, de modo que el otro extremo queda excluido. Pueden estar incluidos o excluidos tanto el extremo derecho como el izquierdo.

Se representa con una expresión del tipo a ≤ x < b ó a < x ≤ b, lo que sería [a;b) ó (a;b].

Por ejemplo, si tenemos el intervalo semiabierto (1;5], tendremos un conjunto de números mayores a 1 y menores o iguales a 5. Sin incluir el 1 pero sí el 5.

Representación en la recta real del intervalo semiabierto [a;b).

Intervalo infinito

Un intervalo infinito es aquel que tiene un valor infinito en uno o ambos extremos. El extremo que posea el infinito será un extremo abierto. En caso de que ambos extremos sean infinitos, será la recta real.

Se representa con una expresión del tipo a ≤ x ó x ≤ a, lo que sería [a;∞) ó (-∞;a). Estos además pueden contener intervalos cerrados, como [a; ∞).

Por ejemplo, si tenemos el intervalo infinito [1;∞), tendremos un conjunto de números mayores o iguales a 1 en adelante.

Representación en la recta real del intervalo infinito [a;∞).

Ejemplos de intervalos

Para entender mejor el concepto de intervalos, veamos los siguientes ejemplos, junto con su clasificación y números comprendidos:

Intervalo	Tipo	Comprende
(-4;6)	Abierto	Mayores que -4 y menores que 6.
(16;4)	Abierto	Mayores que 16 y menores que 4.
[5;6]	Cerrado	Mayores o iguales a 5 y menores o iguales a 6.
[10;14)	Semiabierto	Mayores o iguales a 10 y menores que 14.
(1;∞)	Infinito	Mayores que 1 en adelante.

Ver el siguiente video el cual te ayudara a comprender la lectura anterior:

Intervalos Introducción

PARCIAL 01: PreCálculo - Números reales

 NÚMEROS REALES

Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. 

En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.

Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.

Los números reales se representan mediante la letra R ↓

Dominio de los números reales

Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números comprendidos entre los extremos infinitos. Es decir, no incluiremos estos infinitos en el conjunto.

Dominio de los números reales.

Números reales en la recta real

Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella todos los números reales.

Línea real.

Esquema de los números reales

En este esquema podemos ver claramente que la organización de los números reales es similar al juego de muñecas rusas visto desde arriba o abajo. 

Clasificación de los números reales

Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e irracionales. 

• Números naturales 

Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario (cero neutral).

Expresión:

Pista → Nos podemos acordar de los números naturales pensando en que son los números que usamos “naturalmente” para contar. Cuando contamos con la mano obviamos el cero, lo mismo para los números naturales. 

Primeros elementos del conjunto de números naturales.

• Números enteros

Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los números negativos.

Expresión: 

Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros.

Pista: → Nos podemos acordar de los números enteros pensando en que son todos los números que usamos naturalmente para contar junto con sus opuestos e incluyendo el cero (0). A diferencia de los racionales, los números enteros representan “enteramente” su valor. 

• Números racionales 

Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros. 

Expresión:

Pista → Nos podemos acordar de los números racionales pensando en que siendo fracciones de números enteros, es “racional” que el resultado sea un número entero o un número decimal finito o semiperiódico. 

Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales.

• Números irracionales

Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica. 

Expresión: 

Pista → Nos podemos acordar de los números irracionales pensando en que son todos los números que no encajan en las clasificaciones anteriores y que también pertenecen a la recta real.

Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales.

Ejemplos de números reales

En el siguiente ejemplo sobre los números reales, comprueba que los siguientes números corresponden a punto en la recta real.

• Números naturales: 1,2,3,4…
• Números enteros: …,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…
• Números racionales: cualquier fracción de números enteros. 
• Números irracionales: 

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